Sifat Pengerjaan Hitung

Salah satu materi matematika untuk kelas V Sekolah Dasar adalah Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan bulat. Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya.

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a.Sifat komutatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?
Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.
a + b = b + a, dengan a dan b sembarang bilangan bulat.
b. Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut. Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.
Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis: a × b = b × a , dengan a dan b sembarang bilangan bulat.
Soal Latihan
Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. –10 + 2 = ___ + ___
2. 29 + (–11) = ___ + ___
3. –20 + 50 = ___ + ___
4. 24 + (–40) = ___ + ___
5. –15 + (–25) = ___ + ___
6. 10 × 6 = ___ + ___
7. –5 × 9 = ___ + ___
8. 15 × (–3) = ___ + ___
9. –50 × 2 = ___ + ___
10. –30 × (–3) = ___ + ___

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
a. Sifat asosiatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?
Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis: (a + b) + c = a + (b + c), dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.
Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan
1. (2 + (–1)) + 3 = 2 + (–1 + 3) = 2 + 2 = 4
2. (1 + 2) + (–5) = 1 + (2 + (-5)) = 1 +(- 3) = -2
3. (–2 + 3) + 4 = –2 + (3+ 4) =-2 + 7 = 5
4. (5 + (–1)) + (–4) = 5 + (–1 + (–4)) = 5 x (-5) = -25
5. (–6 + 2) + (–10) = –6 + (2 + (-10) ) = -6 +(-8) = -14
6. (20 + (–1)) + 3 = 20 + (–1 + 3) = 20 +(-2) = 18
7. (–5 + 25) + 4 = –5 + (25 + 4) = -5 + 29 = 24
8. (30+ (–3)) + 6 = 30 + ((-3)+ 6) = 30 + 3 = 33
9. (39 + (-5)) + (–10) = 39 + (–5 + (–10)) = 39 + (-15) = 24
10. (–45 + 4) + 7 = –45 + (4 + 7) = -45 + 11 = 34

b. Sifat asosiatif pada perkalian
Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.
Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis: (a × b) × c = a × (b × c), dengan a, b, dan c bilangan bulat.
Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. (50 + (–5)) + (–3) = 50 + (–5 + -3 ) = 50 + (-8) = 42
2. (65 + (–60) + (-3) = 65 + (–60 + (–3)) = 65 +-(63) = 2
3. (55 + (–30)) + 6 = 55 + ((-30) + 6) = 55 + (-24) = 31
4. (–39 + 32) + (-4) = -39 + (32 + (–4)) =-39 + 28 = -11
5. (45 + 27) + (–9) = 45 + (27 + (-9)) = 45 + 18 = 81
6. (2 × 6) × 4 = 2 × (6 × 4) = 2 x 24 = 48
7. (–3 × 2) × 5 = -3 × (2 × 5) =-3 x 10 = -30
8. (4 × (–5)) × 2 = 4 × ((-5) × 2) = 4 x (-10) = -40
9. (–3 × (–2)) × 6 = -3 × ((-2) × 6) = -3 x (-12) = 36
10. (5 × (–4)) × (–3) = 5 × ((-4) × (-3))= 5 x 12 = 60

3. Sifat Distributif (Penyebaran)
Perhatikan contoh berikut
a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6) Angka pengali disatukan 3 × 4 dan 3 × 6 mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 3 yang menggunakan sifat distributif.

Benarkah bahwa (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?
Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3). 3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30. Mengapa cara ini digunakan. Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6). (5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5. Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh: (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.

b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2),Angka pengali dipisahkan 15 × (10 + 2) mempunyai angka pengali 15. Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.
15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
= 150 + 30
= 180
Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2 = 15 × 12. Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. 
Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:a × (b + c) = (a × b) + (a × c), a × (b – c) = (a × b) – (a × c) dengan a, b, dan c bilangan bulat
Soal Latihan
Gunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.
1. (3 × 63) + (3 × 17) = 3 × (63 + 17) = 3 x 80 = 240
2. (–5 × 21) + (–5 × 19) = -5 × (21 + 19) =-5 x 40 =-200
3. (–4 × 46) + (–4 × 14) = -4 × (46 + 14) = -4 x 60 = -240
4. 5 × (20 + 12) = (5 × 20) + (5 × 12) = 10 + 60 = 160

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.
Perhatikan contoh berikut.
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:
  • 5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3 (Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.)
  • = (5 × 6) × 3 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
  • = 30 × 3
  • = 90
Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 2:
  • 5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya. Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5)
  • = 3 × (5 × 6) (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya)
  • = 3 × 30
  • = 90
2.Menghitung 8 × 45
Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360

Soal Latihan :
Manfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif
1. 4 × 15 × 6 = 4 x (15 x 6) = 4 x 90 = 360
2. 29 × 10 × 31 = (29 x 10) x 31 = 290 x 31 = 8.990
3. 54 × 12 × 5 = 54 x (12 x 5) = 54 x 60 = 3.240
4. 125 × 9 × 16 = (125 x 9) x 16 = 1.125 x 16 = 18.000
5. 12 × 44 =(10 + 2) x 44 = (10 x 44) + (2  x 44) = 440 + 88 = 528
6. 9 × 57 = 9 x (50 + 7) = (9 x 50) + (9 x 7) = 450 + 63 = 513
7. 15 × 44 = 15 x (40 + 4) = (15 x 40) + (15 x 4) = 600 + 60 = 660
8. 11 × 38 = 11 x (30 + 8) = (11 x 30) + (11 x 8) = 330 + 88 = 418
9. 25 × 79 = 25 x (70 + 9) = (25 x 70) + (5 x 9) = 1.750 + 45 = 1.795
10. 30 × 93 = 30 x (90 + 3) = (30 x 90) + (90 x 3) = 2.700 + 270 = 2.970

Ditulis oleh: Tugino
Media Belajar Diperbarui pada: Sunday, August 31, 2014

Mengubah Pecahan Desimal

Sistem desimal mulai diperkenalkan pada zaman Renaissance. Pada tahun 1492, Francesco Pellos (1450–1500) menerbitkan karyanya yang berjudul Compendio de lo abaco. Ia menggunakan tanda titik untuk menandai pecahan dengan penyebut sepuluh (desimal). Pecahan desimal adalah salah satu bentuk lain dari suatu pecahan. Ciri khas dari pecahan desimal adalah tanda koma ( , ) Penyebut dari pecahan desimal adalah 10 atau kelipatan 10 (100, 1000, 10000, dan seterusnya). Satu angka dibelakang koma berarti penyebutnya 10. Contoh: 0,6 = enam per sepuluh. Dua angka dibelakang koma berarti penyebutnya 100. Contoh: 2,03 = dua, tiga per seratus. Perhatikan pecahan desimal berikut.
3,78 =3 (satuan) + 7 persepuluhan + 8 perseartusan.

Mengubah desimal ke persen dan sebaliknya
Langkah-langkah mengubah pecahan desimal ke bentuk persen adalah sebagai berikut.
  • Ubahlah desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 100.
  • Dari bentuk pecahan diubah ke bentuk persen.
Contoh 1   0,75 =75= 75%
100
Contoh 2   0,135 =135=13,5= 13,5 %
1000 100
Langkah-langkah mengubah bentuk persen ke bentuk desimal sebagai berikut.
  • Ubahlah persen ke bentuk pecahan berpenyebut 100.
  • Pecahan ini diubah ke bentuk desimal.
Contoh 1   24% =24= 0,24
100
Contoh 1   76% =76= 0, 76
100
Perhatikan pembilang pada pecahan berpenyebut 100 tersebut. Dalam membuat ke bentuk desimal, koma bergeser ke kiri dua langkah.
Mengubah pecahan biasa ke desimal dan sebaliknya
Langkah-langkah mengubah pecahan ke desimal.
  • Ubahlah pecahan biasa ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya.
  • Pecahan yang diperoleh diubah ke bentuk desimal.
Contoh 1 :1313 x 452= 0.52 
2525 x 4 100 
Contoh 2 :6363 x 8504= 0.504 
125125 x 8 1.000 
Perhatikan pembilang pada pecahan berpenyebut 1.000 tersebut. Dalam membuat ke bentuk desimal, koma bergeser ke kiri tiga langkah.
Langkah-langkah mengubah desimal ke pecahan caranya sebagai berikut.
  • Ubahlah bentuk desimal ke bentuk pecahan berpenyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya.
  • Sederhanakan bentuk pecahan yang diperoleh tersebut.
Contoh 1 : 0, 8 = 88 : 24
1010 : 2 
Contoh 2 : 0,24 = 2424: 46
100100 : 4 25 
Soal Latihan :
Mengubah Pecahan Biasa ke Pecahan Persen dan Desimal
  No.      Pecahan    
                 Bentuk Persen                
                Bentuk Desimal                   
1.
2
5
2=2 x 20=40= 40%
55 x 20100
22 x 2040= 0.4 
55 x 20 100 
2.
4
25
4=4 x 4=16= 16%
2525 x 4100
44 x 416= 0.16 
2525 x 4 100 
3.
13
20
13=13 x 5=65= 65%
2020 x 5100
1333 x 565= 0.65 
2020 x 5 100 
4.
27
40
27=27 x 25=675= 67,5%
4040 x 251.000
2727 x 25675= 0.675 
4040 x 25 1.000 
5.
17
50
17=17 x 2=34= 34%
5050 x 2100
1717 x 234= 0.34 
5050 x 2 50 
Mengubah Pecahan Desimal ke Pecahan Persen dan Biasa
   No.      Pecahan   
                 Bentuk Persen                
                       Bentuk Biasa                
1.
0,65
0,75 =65= 65%
100
0,65 = 6565 : 5=13
100100 : 5 20
2.
0,46
0,46 =46= 46%
100
0,46 = 4646 : 2=23
100100 : 2 50
3.
0,125
0,125 =125= 12,5%
1.000
0,125 = 125125 : 125=1
1.0001.000 : 125 8
4.
0,76
0,76 =76= 76%
100
0,76 = 7676 : 2=38
100100 : 2 50
5.
0,625
0,625 =625= 62,5%
1.000
0,625 = 625625 : 125=5
1.0001.000 : 125 8
Mengubah Pecahan Persen ke Bentuk Desimal dan Biasa
  No.       Pecahan   
                  Bentuk Desimal             
                     Bentuk Biasa                  
1.
25% 
25% =25= 0,25
100
25% = 2525 : 5=5
100100 : 5 20
2.
70%
70% =70= 0,70
100
70% = 7070 : 10=7
100100 : 10 10
3.
48%
48% =48= 0,48
100
48% = 4848 : 4=12
100100 : 4 25
4.
12,5%
12,5% =125= 0,125
1.000
12,5% = 125125 : 125=1
1.0001.000 : 125 8
5.
87,5
87.5% =875= 0,875
1.000
87,5% = 875875 : 125=7
1.0001.000 : 125 8

Ditulis oleh: Tugino
Media Belajar Diperbarui pada: Saturday, August 30, 2014

Menaksir Hasil Kali dan Hasil Bagi

Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat, jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan. Sedangkan jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat, jika angka puluhannya kurang dari 50, angka puluhan dan satuan dihilangkan. Sedangkan, jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 50, angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan. Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

Lambang taksiran yaitu ≈. Misalnya 21 × 29 ≈ 20 × 30 = 600. Dibaca dua puluh satu kali dua puluh
sembilan kira-kira enam ratus.

Contoh soal
Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 tim. Setiap tim beranggotakan 21 anak. Berapa kira-kira jumlah
anak yang ikut gerak jalan?
Pembahasan
Banyak tim = 18 dibulatkan menjadi→ 20.
Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan ke 10. Jadi, angka 18 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 20.
Banyaknya anggota setiap tim = 21 dibulatkan menjadi → 20.
Angka 1 kurang dari 5. Angka 1 dibulatkan ke 0. Jadi, angka 21 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 20.
Taksiran jumlah siswa = 20 × 20 = 400.
Jadi, jumlah anak yang ikut gerak jalan kira-kira ada 400.

Apabila hasil perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut.
18 × 21 = 378 (hasil sebenarnya)
Pembulatan ke puluhan terdekat:
378 → 370 + 10 = 380, 378 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 380. Jadi, 18 × 21 ≈ 380.
Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan menjadi 10.
Pembulatan ke ratusan terdekat:
378→ 300 + 100 = 400, 378 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400. Jadi, 18 × 21 ≈ 400.
Angka 78 lebih dari 50. Angka 78 dibulatkan menjadi 100.
Apabila panitia menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira berapa botol
minuman yang didapatkan setiap tim?

Pembahasan
Banyak minuman yang didapatkan setiap tim: 576 : 18
576→ 500 + 100 = 600
18 → 10 + 10 = 20
Diperoleh 600 : 20 = 30.
Jadi, banyak minuman yang didapatkan setiap tim kira-kira 30 botol.

Tentukan hasil perkalian atau pembagian soal-soal berikut. Hasilnya bulatkan ke puluhan dan ke ratusan terdekat. Setelah itu taksirlah hasil perkalian atau pembagiannya.
No.Hasil SebenarnyaPembulatan ke Puluhan TerdekatPembulatan ke ratusan terdekat
1.439 × 78 = 34.242 ≈ 34.240≈ 34.200
2.889 × 23 = 6.647≈ 6.650≈ 6.700
3.832 × 58 = 48.256≈ 48.250≈ 48.300
4.826 × 678 = 560.028≈ 560.030≈ 560.000
5.872 × 926 = 807.472≈ 807.470≈ 807.500
6.589 : 19 = 31≈ 30 ≈ 0 
7.418 : 38 = 11≈ 10≈ 0
8.4.134 : 53 = 78≈ 80≈ 100
9.31.785 : 39 = 815≈ 820≈ 800
10.28.413 : 41 = 693≈ 690≈ 700
Pak Udin ingin memperbaiki rumahnya. Gunakan taksiran untuk membantu Pak Udin.
  • Panjang dan lebar rumah Pak Udin 13 meter dan 8 meter. Kira-kira berapa m² luas rumah Pak Udin?Pembahasan : Luas rumah Pak Udin kira-kira adalah 10 x 10 ≈ 100 m²
  • Satu kardus keramik dapat digunakan untuk menutup lantai seluas 2 m². Kira-kira berapa kardus keramik yang dibutuhkan Pak Udin untuk menutup lantai rumahnya? Pembahasan Keramik yang dibutuhkan kira-kira = 100 m² : 2 ≈ 50 dus
  • Harga satu kardus keramik Rp35.500,00. Apabila Pak Udin mempunyai uang dua juta rupiah, kira-kira cukupkah uang tersebut untuk membeli keramik yang dibutuhkannya? Pembahasan Cukup, Rp.36.500 x 50 dus ≈ Rp,1.775.000.
  • Dinding rumah Pak Udin yang akan dicat ulang luasnya 42 m². Satu kilogram cat dapat digunakan untuk mengecat dinding seluas 12 m². Berapa kira-kira cat yang dibutuhkan Pak Udin? Pembahasan Cat yang dibutuhkan kira-kira = 40 : 10 ≈ 4 kg
  • Harga satu kilogram cat tembok Rp12.250,00. Berapa kira-kira uang yang harus dikeluarkan Pak Udin untuk membeli cat tembok? Pembahasan Uang untuk membeli cat kira-kira = Rp12.300 x 4 ≈ Rp49.200
  • Ruang tamu Pak Udin berukuran 3 m × 4 m. Ruang tamu tersebut akan dipasang karpet. Harga karpet Rp12.750,00 per meter. Berapa kira-kira uang yang harus disediakan Pak Udin untuk membeli karpet? Pembahasan Luas ruang tamu = 4 x 3 = 12 m², Kira-kira uang untuk membeli kapet = Rp12.800 x 10 ≈ Rp128.000

Ditulis oleh: Tugino
Media Belajar Diperbarui pada: Friday, August 29, 2014